INDICE ANALITICO
Parte 1. Análisis lineal
1. ESPACIOS LINEALES
1.1 Introducción 3
1.2 Definición de espacio lineal 3
1.3 Ejemplos de espacios lineales 5
1.4 Consecuencias elementales de los axiomas 7
1.5 Ejercicios 8
1.6 Subespacios de un espacio lineal 9
1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 11
1.8 Bases y dimensión 14
1.9 Componentes 15
1.10 Ejercicios 16
1.11 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas 17
1.12 Ortogonalidad en un esp-acio euclídeo 21
1.13 Ejercicios 24
1.14 Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt 26
1.15 Complementos ortogonales. Proyecciones 31
1.16 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita 34
1.17 Ejercicios 36
2. TRANSFORMACIONES LINEALES
Y MATRICES
2.1 Transformaciones lineales
2.2 Núcleo y recorrido
2.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación
Ejercicios
Operaciones algebraicas con transformaciones lineales
Inversas
Transformaciones lineales uno a uno
Ejercicios
Transformaciones lineales con valores asignados
Representación matricial de las transformaciones lineales
Construcción de una representación matricial en forma diagonal
Ejercicios
Espacios lineales de matrices
Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
Multiplicación de matrices
Ejercicios
Sistemas de ecuaciones lineales
Técnicas de cálculo
Inversas de matrices cuadradas
Ejercicios
Ejercicios varios sobre matrices
3. DETERMINANTES
Introducción
Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante
Conjunto de axiomas que definen una función determinante
Cálculo de determinantes
El teorema de unicidad
Ejercicios
Producto de determinantes
Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular
Determinantes e independencia de vectores
Determinante de una matriz diagonal en bloques
Ejercicios
Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores
y cofactores
Existencia de la función determinante
Determinante de una matriz transpuesta
La matriz cofactor
Regla de Cramer
Ejercicios
4. AUTOVALORES y AUTOVECTORES
4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices diagonales
4.2 Autovectores y autovalores de una transformación lineal 120
4.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a autovalores distintos 123
4.4 Ejercicios 125
4.5 Caso de dimensión finita. Polinomios característicos 126
4.6 Cálculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensión finita 128
4.7 Traza de una matriz 131
4.8 Ejercicios 132
4.9 Matrices que representan la misma transformación lineal.
Matrices lineales 134
4.10 Ejercicios 139
5. AUTOVALORES DE OPERADORES EN ESP ACrOS EUCLÍDEOS
Autovalores y productos interiores o escalares
Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas
Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos
Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autovalores distintos
Ejercicios
Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actúan en espacios de dimensión finita
Representación matricial para operadores hermitianos y hemihermitianos
Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz
Diagonalización de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana
Matrices unitarias. Matrices ortogonales
Ejercicios
Formas cuadráticas
Reducción de una forma cuadrática real a forma diagonal
Aplicaciones a la Geometría Analítica
Ejercicios
Autovalores de una transformación simétrica obtenidos como valores de su forma cuadrática
Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformación simétrica
Caso de dimensión finita
Transformaciones unitarias
Ejercicios
6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Introducción histórica
Revisión de los resultados relativos a las ecuaciones de primer
y segundo orden
Ejercicios
Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
Teorema de existencia y unicidad
Dimensión del espacio solución de una ecuación lineal homogénea
Álgebra de operadores de coeficientes constantes
Determinación de una base de soluciones para ecuaciones lineales con coeficientes constantes por factorización de operadores
Ejercicios
Relación entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas
Determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea. Método de variación de constantes
No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones independientes de una ecuación lineal homogénea
Métodos especiales para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea. Reducción a un sistema de ecuaciones lineales de primer orden
Método del anulador para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea
Ejercicios
Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos
La ecuación de Legendre
Polinomios de Legendre
Fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre
Ejercicios
6.22 Método de Frobenius
6.23 Ecuación de Bessel
6.24 Ejercicios
7. SISTEMAH DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Introducción
Cálculo con funciones matriciales
Series de matrices. Normas de matrices
Ejercicios
Exponencial de una matriz
Ecuación diferencial que se satisface por etA
Teorema de unicidad para la ecuación diferencial matricial
F'(t) = AF(t)
Ley de exponentes para exponenciales de matrices
Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
El problema de calcular erA
Teorema de Cayley-Hamilton
Ejercicios
Método de Putzer para calcular etA
Otros métodos para calcular etA en casos especiales
Ejercicios
Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes
Ejercicios
Sistema lineal general Y'(t) = P(t)Y(t) + O(t)
Resolución de sistemas lineales homogéneos mediante series de potencias
Ejercicios
Demostración del teorema de existencia por el método de las aproximaciones sucesivas
Aplicación del método de aproximaciones sucesivas a los sistemas no lineales de primer orden
Demostración de un teorema de existencia y unicidad para sistemas no lineales de primer orden
Ejercicios
Aproximaciones sucesivas y puntos fíjos de operadores
Espacios lineales normados
Operadores de contracción
7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contracción
7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo
Parte 2. Análisis no lineal
8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
Funciones de R” en R'”. Campos escalares y vectoriales
Bolas abiertas y conjuntos abiertos
Ejercicios
Límites y continuidad
Ejercicios
La derivada de un campo escalar respecto a un vector
Derivadas direccionales y derivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Ejercicios
Derivadas direccionales y continuidad
La diferencial
Gradiente de un campo escalar
Condición suficiente de diferenciabilidad
Ejercicios
Regla de la cadena para derivadas de campos escalares
Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes
Ejercicios
Diferenciales de campos vectoriales
La diferenciabilidad implica la continuidad
La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales
Forma matricial de la regla de la cadena
Ejercicios
Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas
8.24 Ejercicios varios
9. APLICACIONES DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coeficientes constantes
Ejercicios
La ecuación de ondas uni-dimensional
Ejercicios
Derivación de funciones definidas implícitamente
Ejemplos resueltos
Ejercicios
Máximos, mínimos y puntos de ensilladura
Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares
Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana
Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos variables
Ejercicios
Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
Ejercicios
Teorema del valor extremo para campos escalares continuos
Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos
10. INTEGRALES DE LÍNEA
Introducción
Caminos e integrales de línea
Otras notaciones para las integrales de línea
Propiedades fundamentales de las integrales de línea
Ejercicios
El concepto de trabajo como integral de línea
Integrales de línea con respecto a la longitud de arco
Otras aplicaciones de las integrales de línea
Ejercicios
Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino
Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
Aplicaciones a la Mecánica
Ejercicios
El primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente
Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente
Métodos especiales para construir funciones potenciales
Ejercicios
Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden
Ejercicios
Funciones de potencial en conjuntos convexos
11. INTEGRALES MÚLTIPLES
Introducción
Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas
Integral doble de una función escalonada
Definición de integral doble de una función definida y acotada en un rectángulo
Integrales dobles superior e inferior
Cálculo de una integral doble por integración uni-dimensional reiterada
Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen
Ejemplos resueltos
Ejercicios
Integrabilidad de funciones continúas
Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades
Integrales dobles extendidas a regiones más generales
Aplicaciones a áreas y volúmenes.
Ejemplos resueltos
Ejercicios
Otras aplicaciones de las integrales dobles
Dos teoremas de Pappus
Ejercicios
Teorema de Green en el plano
Algunas aplicaciones del teorema de Green
Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente
Ejercicios
Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas
El número de giros
Ejercicios
Cambio de variables en una integral doble
Casos particulares de la fórmula de transformación
Ejercicios
Demostración de la fórmula de transformación en un caso particular
Demostración de la fórmula de transformación en el caso general
Extensiones a un número mayor de dimensiones
Cambio de variables en una integral n-múltiple
Ejemplos resueltos
Ejercicios
12. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Representación paramétrica de una superficie
Producto vectoriak fundamental
El producto vectorial fundamental, considerado como una normal
a la superficie
Ejercicios
Área de una superficie paramétrica
Ejercicios
Integrales de superficie
Cambio de representación paramétrica
Otras notaciones para las integrales de superficie
Ejercicios
Teorema de Stokes
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial
Ejercicios
Otras propiedades del rotacional y de la divergencia
Ejercicios
Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional
Ejercicios
Extensiones del teorema de Stokes
Teorema de la divergencia (teorema de Gauss)
Aplicaciones del teorema de la divergencia
Ejercicios
Parte 3. Temas especiales
13. FUNCIONES DE CONJUNTO Y PROBABILIDAD ELEMENTAL
Introducción histórica
Funciones de conjunto con aditividad finita
Medidas con aditividad finita
Ejercicios
Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos
Terminología propia del cálculo de probabilidades
Ejercicios
Ejemplos resueltos
Ejercicios
Algunos principios básicos de análisis combinatorio
Ejercicios
Probabilidades condicionadas
Independencia
Ejercicios
Experimentos o pruebas compuestas
Pruebas de Bernoulli
Número más probable de éxitos en n pruebas de Bernoulli
Ejercicios
Conjuntos numerables y no numerables
Ejercicios
Definición de probabilidad para espacios muestrales infinitos numerables
Ejercicios
Ejercicios variados sobre probabilidades
14. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
14.1 Definición de probabilidad para espacios muestrales no numerables 621
14.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad positiva 622
14.3 Variables aleatorias 623
14.4 Ejercicios 625
Funciones de distribución
Discontinuidad de las funciones de distribución
Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad
Ejercicios
Distribuciones continuas. Funciones de densidad
Distribución uniforme sobre un intervalo
Distribución de Cauchy
Ejercicios
Distribuciones exponenciales
Distribuciones normales
Observaciones sobre distribuciones más generales
Ejercicios
Distribuciones de funciones de variables aleatorias
Ejercicios
Distribución de variables aleatorias bidimensionales
Distribuciones discretas bidimensionales
Distribuciones continuas bidimensionales. Funciones de densidad
Ejercicios
Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias
Ejercicios
Esperanza y varianza
Esperanza de una función de una variable aleatoria
Ejercicios
Desigualdad de Chebyshev
Leyes de los grandes números
El teorema central del límite
Ejercicios
Referencias citadas
15. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS NUMÉRICO
15.1 Introducción histórica 695
15.2 Aproximaciones por polinomios 697
15.3 Aproximaciones polinómicas y espacios lineales normados 698
15.4 Problemas fundamentales en la aproximación por polinomios 700
15.5 Ejercicios 703
15.6 Polinomios de interpolación 705
15.7 Puntos de interpolación igualmente separados 708
15.8 Análisis del error de la interpolación por polinomios 709
Ejercicios
Fórmula de interpolación de Newton
Puntos de interpolación igualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas
Polinomios factoriales
Ejercicios
Problema de mínimo relativo a la norma del máximo
Polinomios de Chebyshev
Propiedad de mínimo de los polinomios de Chebyshev
Aplicación a la fórmula del error en la interpolación
Ejercicios
Integración aproximada. Regla de los trapecios
Regla de Simpson
Ejercicios
Fórmula de sumación de Euler
Ejercicios
Referencias citadas
Soluciones a los ejercicios
Indice
DATOS TÉCNICOS:
Formato: .PDF
Compresión: .RAR
Hospedaje: DF, MG, RS
Peso: 34.59 MB
Idioma: Español
Contraseña: www.freelibros.org
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