martes, 23 de agosto de 2016

Estructuras algebraicas V: Teoría de cuerpos – Héctor A. Merklen


Esta monografía trata varios temas del Álgebra: Polinomios: Intuitivamente, los polinomios son símbolos construidos con letras y números ligados por las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Por ejemplo: X2 + Y2 + Z2 o X3 + 2X2 + 4X + 8 Aparecen con frecuencia al simbolizar términos algebraicos que implican variables lógicas. Su importancia es tal que justifica el desarrollo de una teoría matemática sobre ellos.

Extensiones de Dimensión Finita: Uno de los problemas centrales del álgebra es la resolución de ecuaciones de la forma P(X) = 0, (P ? R[X]) es decir, hallar los elementos de R, ?, tales que P (?) = 0. Este problema, en extremo difícil, no tiene una solución satisfactoria, como sería disponer de un algoritmo para obtener las raíces de P. Esto ni siquiera es posible en el caso más simple en que R es un cuerpo.

Ecuaciones: Si ? es una raíz de la unidad en E/K, (?) es un subgrupo cíclico finito de (E,.). Si el orden de ? en este grupo es n, se dice que ? es una n – raíz primitiva sobre K (Nota: de hecho esto no depende de K, sino del cuerpo primo de K.)

Extensiones Infinitas: Uno de los axiomas de la matemática que ha provocado más discusiones es el siguiente: Axioma de elección. Todo producto cartesiano de una familia no vacía de conjuntos no vacíos, es no vacío. El análisis lógico ha permitido establecer, en primer lugar, que el axioma de elección es independiente de los axiomas usuales de la matemática. En segundo lugar, que el axioma de elección es lógicamente equivalente a otras numerosas proposiciones pertenecientes a diversas teorías. Si bien algunas de ellas no son intuitivas, su importancia es enorme. Como consecuencia, hay una diferencia tremenda entre la matemática no – Zermeliana (que no acepta el axioma de elección) y la matemática Zermeliana (que sí lo acepta). La matemática Zermeliana constituye, en exceso, la mayor parte de la matemática actual.

Contenido:

A los lectores
Capítulo 1. Polinomios
Capítulo 2. Extensiones de dimensión finita
Capítulo 3. Ecuaciones
Capítulo 4. Extensiones infinitas
Capítulo 5. Ejercicios
Índice de términos
Índice de símbolos
Bibliografía

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